10.1 Puntos y Rectas
Desarrollo Puntos y
Rectas
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base
de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las
rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión
de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene
dimensión.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión
ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo
tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es
infinita, no posee ni principio ni fin.
La recta tienen una dimensión, la
longitud.
Tipos de rectas
-
Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
-
Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.
-
Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.
-
Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
-
Curva:Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)
Posiciones de las rectas:
-
Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.
-
Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común.
-
Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
Posición de las rectas en el espacio
-
Horizontal
-
Vertical
-
Inclinada
La linea curva puede ser:
-
Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.
-
Elípse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.
-
Espiral es una curva regular abierta que gira sobre sí misma.
-
Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
10.2 Circunferencia
La circunferencia es
una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia
constante r, llamada radio, del centro (C).
La circunferencia es
el perímetro del círculo.
También es un tipo de cónica,
obteniéndose como la intersección de un cono y un plano
paralelo a la base de éste.
Elementos de la
circunferencia
Los principales elementos de la circunferencia son:
- Centro: el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos los puntos de la circunferencia.
- Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
- Diámetro: segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud es el doble que la del radio.
- Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro.
- Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a).
- Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)
- Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r.
- Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r.
Ecuación de la
circunferencia
Los
puntos de la circunferencia (x,y) son
aquellos que cumplen la ecuación:
Esta
ecuación reúne todos los puntos (x,y) que
están a una distancia r del
centro C.
En el caso
particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene
dada por:
Ecuación paramétrica de la circunferencia
Los
puntos (x,y) de
la circunferenciatambién se pueden expresar a partir de el ángulo
(θ)
del punto a través de la circunferencia respecto al eje de
coordenadas x,
mediante la ecuación
paramétrica. El
ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π])
o grados sexagesimales(θ∈[0º,360º]).
Es decir, la
fórmula reducida de la ecuación paramétrica es:
Longitud
de la circunferencia
La longitud
de la circunferencia es
igual a dos veces el radio (r)
por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D)
de la circunferencia por π.
El
concepto “longitud
de la circunferencia”
es igual al del “perímetro del círculo” y miden lo mismo.
Área
de la circunferencia
La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es:
Ejemplo:
10.3 Parábola
Una parábola es
el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo,
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una directriz g.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).
Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.
Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)
Los elementos
de la parábola son:
- Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
- Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
- Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola.
- Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
- Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz
- Vértices: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
- Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
Ecuación de la parábola
La ecuación
de la parábola depende
de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical,
la y será
la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la
variable dependiente.
Eje vertical
La ecuación
de la parábola a partir del vértice siendo el eje
vertical es:
La ecuación
general de la parábola con
el eje
vertical es la
siguiente:
El
parámetro a indica
lo “abierta” que es la parábola. Si el parámetro aes
positivo, el vértice será el mínimo de la parábola. Si a es
negativo, será el máximo.
Eje horizontal
La ecuación
de la parábola a partir del vértice siendo el eje
horizontal es:
La ecuación
general de la parábola con
el eje
horizontal es
la siguiente:
El
parámetro a indica
lo “abierta” que es la parábola.
Ecuación general de la parábola
Los
casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos
particulares de la ecuación
general de la parábola.
Ejemplos:
*Dada la parábola 
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
*Dada la parábola 
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
*Dada la parábola 
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
,
calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
10.4 Elipse
La elipse es
el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de las distancias a
los dos
focos (puntos
interiores fijos F1 y F2)
es constante.
Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las
distancias d1 y d2 es
constante.
También
podemos definir la elipsecomo
una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con
un plano oblicuo que no corta la base.
 |
Elementos
de una elipse
Los
elementos más importante de la elipse son:- Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
- Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
- Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
- Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
-
Semieje
menor: longitud
del segmento OJ o OL (b).
Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple
que:
Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
- Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
-
Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L
Ecuación
de una elipse
Los
puntos pertenecientes a la elipse(x,y)
son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a
los dos focos es constante. La ecuación
de la elipse es
la siguiente:
En el
caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)),
la ecuación es:
Área
de una elipse
El área
comprendida dentro de una elipse es
π veces el producto de los dos semiejes (a y b).
En
el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b),
su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una
circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del
círculo):
Perímetro
de una elipse
El
cálculo del perímetro
de la elipse(o longitud de
la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de
integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que
aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una
aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor
(a)
no sea mucho más grande que el menor (b):
El
matemático Ramanujan dio
una aproximación más exacta que la anterior :
Excentricidad
de la elipse
La excentricidad
de una elipse (e)
es un valor que determina la forma
de la elipse, en el
sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento.
Sea c la
semidistancia focal y ael
semieje mayor:
La excentricidad puede
tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1).
Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los
semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1)
coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece
y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.
Existe
otra fórmula que calcula la excentricidad a
partir de los dos semiejes (a y b).
Esta fórmula se
obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:
Ejemplo:
Semieje mayor:
Semidistancia focal:
Semieje menor:
Ecuación reducida:
Excentricidad:
