Geometría del Espacio

8.1 Sistema Tridimensional

Un objeto es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. El sistema tridimensional mas usado en física (clásica) es el espacio: una dimension para el ancho, otra para la altura y otro para la profundidad. Para representarlo basta con el grafico de ejes cartesianos X,Y,Z. En las imágenes se puede observar el grafico con el que se representan los sistemas tridimensionales  

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejesOx,Oy yOz. Las coordenadas de un puntoP son (x, y, z). La distancia signadas como x, y y z se llaman abscisa, ordenada y cota respectivamente. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

La regla de la mano derecha es: se orientan los dedos de la mano derecha, excepto el pulgar, en el sentido positivo del eje OX y se los envuelve o gira hacia el sentido positivo del eje OY, levantando recto el pulgar se tendrá el sentido positivo del eje OZ.

También se puede emplear la regla de la mano izquierda, como puede verse, los dedos medio, índice y pulgar se colocan en direcciones perpendiculares entre sí, se nombran los ejes a partir del dedo medio en orden alfabético.

Esta es la forma mas usual de representar los sentidos positivos de los ejes cordenados.  

Ejemplos de formas tridimensionales

Forma tridimensional de una campana de Gauss.

En geometría son tridimensionales las siguientes figuras geométricas:

• Poliedros de caras planas:

• Pirámides

• Cubo

• Prismas

• Superficies curvas:

• Cilindro

• Conos

• Esfera o 3-esfera

Ya que todas ellas pueden ser embebidas en un espacio euclídeo de tres dimensiones. Sin embargo, hay que señalar que técnicamente la esfera, el cono o el cilindro son variedades bidimensionales (solo la cáscara) ya que los puntos interiores a ellos no son estrictamente parte de los mismos. Sólo por un abuso de lenguaje o extensión del mismo informalmente se habla de esferas, cilindros o conos incluyendo el interior de los mismos.

8.2 Poliedros

Los poliedros son figuras geométricas tridimensionales que están limitadas por polígonos, siendo cada uno de ellos una cara.
El significado de "poli" es mucho y el de "edro" es cara; por lo tanto, poliedro significa "muchas caras".  

Todas sus caras son planas ya que todas son polígonos.

Si un cuerpo está delimitado  por una superficie que no es un polígono, entonces no es un poliedro.

En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos:

• Caras: son los polígonos que forman el poliedro.

• Aristas: son los segmentos donde hacen intersección las caras. 

• Vértices: son los puntos donde hacen intersección las aristas. 

• Ángulos diedros: Los ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.

• Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común.

• Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Además podemos citar los ángulos diedros delimitados por dos caras que se cortan.

Ángulo diedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen dos caras que se cortan.

Hay tantos como número de aristas. 

También encontramos ángulos poliedros determinados por las caras que inciden en un mismo vértice.

Ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen las caras que inciden en un vértice.

Hay tantos como número de vértices.

Relación de Euler

La Relación de Euler establece , que en poliedros convexos, el número de caras , mas el número de vértices es igual al número de aristas mas dos. Llamamos C al número de caras V al número de vértices A al número de aristas.  

Ejemplo:

Clasificación de poliedros

Poliedro convexo

 

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

 

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algun angulo diedro entrante.

Clases de poliedros segun el numero de caras

• Tetraedro: Poliedro de 4 caras.

• Pentaedro: Poliedro de 5 caras.

• Hexaedro: Poliedro de 6 caras.

• Heptaedro: Poliedro de 7 caras

• Octaedro: Poliedro de 8 caras.

• Eneaedro: Poliedro de 9 caras.

• Decaedro: Poliedro de 10 caras.

• Endecaedro: Poliedro de 11 caras.

• Dodecaedro: Poliedro de 12 caras.

• Tridecaedro: Poliedro de 13 caras.

• Tetradecaedro: Poliedro de 14 caras.

• Pentadecaedro: Poliedro de 15 caras.

• Icosaedro: Poliedro de 20 caras.

Clasificación de poliedros según su regularidad

Poliedros regulares:  Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

Sólo existen cinco poliedros regulares:

• Tetraedro

• Hexaedro o cubo

• Octaedro

• Dodecaedro

• Icosaedro

Áreas y volúmenes de los 5 poliedros regulares

Áreas :El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando por el número de caras.

Volúmenes :Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro.

El volumen de una pirámide es, siendo B el área de la base y "a" la distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema.

El volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto del área de su cara por la apotema, multiplicado por el número de caras.

 

Poliedros irregulares: son poliedros cuyas caras son polígonos no todos iguales. Principalmente se clasifican por el número de caras que tiene su superficie:

• Tetraedro

• Pentaedro

• Hexaedro

• Heptaedro

• Octaedro

• Eneaedro

• Decaedro

	Dibujo	Área	Volumen
Ortoedro		A t = 2·(a·b + a·c + b·c)	V = a·b·c
Cuña		A = área cara superior AB = área base A = AB sec α
Prisma triangular		AL = PB·h AT = AL + 2·AB	ap = apotema PB = perímetro de la base AL = área lateral AB = área base AT = área total
Prisma cuadrangular		AL = PB·h AT = AL + 2·AB
Prisma pengatonal
Prisma hexagonal
Pirámide cuadrangular			PB = perímetro base Ap = apotema lateral ap = apotema de la base
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
Tronco de piramide cuadrangular		P = perímetro base mayor p = perímetro base menor	Ap = apotema tronco ap = apotema base mayor ap' = apotema base menor h = altura del tronco de pirámide AB = área base mayor Ab = área base menor
Tronco de piramide hexagonal

Ejemplos: