Geometría Plana

7.1 Figuras Geométricas en el Plano

Son aquellas que tienen 2 dimensiones. La figura geométrica se define como un conjunto no vacío que está compuesto por puntos y comprendidas como un lugar geométrico, es un área cerrada por líneas o superficies, ya sea en un plano o en el espacio.

¿Cómo graficarlos en el plano?

1. Comprende los ejes del plano cartesiano.

• Cuando graficas un punto en el plano cartesiano, graficas en la forma (x, y). Esto es lo que debes saber:

• El eje x va hacia la izquierda y la derecha, la segunda coordenada es sobre el eje y.

• El eje y hacia abajo y arriba.

• Los números positivos van arriba o a la derecha (dependiendo del eje). Los números negativos van a la izquierda o abajo.

2. Comprende los cuadrantes del plano cartesiano.

•  Recuerda que un gráfico tiene cuatro cuadrantes (usualmente numerados con números romanos). Deberás saber en qué cuadrante se encuentra el plano.

• El cuadrante I tiene (+, +); el cuadrante I está arriba y a la derecha del eje y.

• El cuadrante IV tiene (+. -); el cuadrante IV está abajo del eje x y a la derecha del eje y, (5, 4) está en el cuadrante I.

• (-5, 4) está en el cuadrante II. (-5, -4) está en el cuadrante 3. (5, -4) está en el cuadrante IV.

• Muévete x unidades hacia la izquierda o hacia la derecha. Supongamos que trabajas con un conjunto de coordenadas (5, -4). Tu coordenada x es 5. Ya que 5 es positivo, deberás moverte 5 unidades hacia la derecha. Si fuese negativo, deberías moverte 5 unidades hacia la izquierda.

• Muévete y unidades hacia arriba o hacia abajo. Comienza desde donde terminaste, 5 unidades a la derecha del (0, 0) Ya que tu coordenada y es -4, deberás moverte 4 unidades hacia abajo. Si fuera 4, deberías moverte 4 unidades hacia arriba.

• Marca el punto. Marca el punto a donde llegaste moviéndote 5 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo, el punto (5, -4), que está en el cuarto cuadrante. Ya has terminado.

            

Ejercicio:

Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A= (0,5)

B= (-5,2)

C= (5,2)

D= (-5, -4)

E= ( 5, 4)

F= ( -1,1)

G= (1, -1)

H= (-1, -4)

I= (1, -4)

CLASES DE RECTAS EN EL PLANO

EL PUNTO

El punto es el elemento gráfico más pequeño que se puede dibujar.

Un punto no tiene una forma definida como podríamos pensar, es decir, un punto no solo es redondo, sino que puede ser cuadrado, irregular, con forma de aspa, con forma de triángulo… lo importante es su tamaño, que debe ser relativamente pequeño.

RECTA

▪La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos en una misma dimensión.

▪También se puede considerar a la recta como la distancia más corta entre dos puntos.

▪La recta es de longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos.

Distancia entre dos puntos

SEGMENTO DE RECTAS

Se define a un segmento de rectas, como un subconjunto acotado de puntos que pertenecen a una misma recta, que esta delineado por dos de ellos, llamados habitualmente extremos del segmento, estos segmentos no son infinitos. 

7.2Clases de Rectas en el Plano

Paralelas.- son rectas que nunca se cortan aunque se prolonguen. La distancia entre las dos rectas siempre es la misma. 

Perpendicular.- una recta es perpendicular a otra cuando al intersecarse en un punto P, determinan en el plano cuatro ángulos congruentes cuya medida es de 90°

Oblicuas.- son aquellas que cortan en un solo punto y no forman ángulos de 90®, estas rectas forman parte del conjunto de las secantes.

Secantes.- son rectas que se cortan en un único punto aunque tengamos que prolongarlas. Cuando dos rectas secantes forman 4 regiones iguales, se llaman rectas perpendiculares. 

7.3 Ángulos

Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que se encuentran unidas en un solo punto de intersección llamado vértice (origen).

• Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj.

• Un ángulo es negativo si su sentido de giro es a favor de las manecillas del reloj.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE 

Son dos ángulos que se encuentran uno enfrente de otro al cruzarse dos rectas en un punto llamado vértice que tienen en común.

Gráfica de los ángulos opuestos por el vértice

Los pares de ángulos “x", "φ" y "y", "β" se los denomina "ángulos opuestos por el vértice". Tiene como propiedad que todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales o tienen la misma amplitud. 

Cuando dos rectas se cruzan, va a formar 4 ángulos menores a 180º. Si las rectas son perpendiculares entre ellas, los 4 ángulos serán rectos, si las rectas no son perpendiculares, entonces dos de los ángulos serán agudos y los otros dos serán obtusos. Un ángulo agudo y uno obtuso debe sumar 180º debido a que presentan un lado en común y los otros lados también, ya que los 4 ángulos están forman una circunferencia la cual consta de 360º.

Los ángulos AOB y COD ó AOD y BOC son ángulos opuestos por el vértice. Entonces:

AOB es igual al ángulo COD → (AOB = COD)

AOD es igual al ángulo BOC → (AOD = BOC) 

Ejercicios de ángulos opuestos por el vertice:

1.- Calcula los ángulos a°, b° y c° siguiente:

 Como b° es opuesto por el vértice a 40°, también mide 40°

 Un círculo completo son 360°, así que quedan 360° - 2×40° = 280°

 Los ángulos a° y c° también son opuestos por el vértice, así que miden 140° cada uno.

Respuesta: a = 140°, b = 40° y c = 140°

2.- Calcular el valor de x?

2x + x = 180º 2x

3x =180º 2(60º) = 120º

x= 180/3

x = 60º

60º + 120º = 180º

R = 60º 

ÀNGULOS EN RECTAS SECANTES 

Al cortarse dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, a los cuales se los denomina ángulos en rectas secantes estos se representan por letras; y se clasifican por pareja de acuerdo con la posición que tienen con la secante.

• Se denominan ángulos externos a los ángulos que se encuentran en la parte externa de las rectas. (F, G, A, D)

• Se laman ángulos internos a los ángulos que se encuentran en la parte interna de a las rectas. (E, H, B, C)

• Se denominan ángulos correspondientes a los ángulos que, en dos rectas cortadas por una transversal, están del mismo lado de la transversal, pero uno es interno y el otro es externos a las dos rectas. (G-C, F-B, E-A, H-D)

• Se llaman ángulos alternos externos a los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. (G-A, F-D)

• Se denominan ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. (E-C, H-B)

• Se denominan ángulos conjugados externos a los ángulos externos que están ubicados en el mismo semi plano respecto a la recta secante. (G-D, F-A)

• Se denominan ángulos conjugado internos a los ángulos internos que están ubicados en el mismo plano respecto a la recta secante. (E-B, H-C) 

Cuando una recta corta a dos o más rectas en un plano esta recibe el nombre como recta secante formando así 8 ángulos.

Ejemplo: 

7.4 Poligonales y Polígonos

LINEA POLIGONAL.- Una línea poligonal está formada por varios segmentos unidos y pueden ser abierta o cerrada.

A las líneas poligonales cerradas las llamamos:

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

• Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos, para calcular el número total de diagonales se utiliza la siguiente fórmula:

• Ángulo interior (AI):  Son los ángulos determinados por dos lados consecutivos. La suma de los ángulos interiores de un polígono estará determinada por el número de lados del polígono. Si n es el número de lados del polígono, la suma de sus ángulos interiores será:

(n-2) x 180°

Calculemos la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero: n = 4

(4 – 2) x 180° = 360° 

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.

• Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. La suma de los ángulos exteriores de un polígono siempre es 360°.  

• Interior de un polígono: Es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.

• Exterior de un polígono: Es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano 

IDENTIFICACION DE LOS ELEMENTOS EN LA FIGURA

Los polígonos se clasifican siguiendo según su número de lados, según sus diagonales y según la medida de sus lados y ángulos.

Según sus diagonales

Convexo: Un polígono será convexo, si todos sus ángulos son menores de 180°, por lo tanto, si determinamos dos puntos en su interior y los unimos con un segmento, éste siempre quedará en su interior.

Cóncavo: Será cóncavo, si al menos uno de su ángulo mide más de 180°. Como muestra la figura, no todos los segmentos trazados entre dos puntos quedarán en su interior.

Según la medida de sus lados y ángulos

Los polígonos pueden ser regulares e irregulares:

Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es decir tienen la misma medida.

Irregulares son aquellos en que al menos uno de los lados tiene diferente medida o sus ángulos son diferentes. 

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES

Polígonos Regulares

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscriptos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de un círculo.

Se clasifican en:

• Triángulo equilátero: Tiene los 3 lados y ángulos iguales

• Cuadrado o Cuadrilátero: Tiene 4 lados y ángulos iguales

• Pentágono regular: Tiene 5 lados y ángulos iguales

• Hexágono regular: Tiene 6 lados y ángulos iguales

• Heptágono regular: Tiene 7 lados y ángulos iguales

• Octágono regular: Tiene 8 lados y ángulos iguales

• Eneágono regular: Tiene 9 lados y ángulos iguales

• Decágono regular: Tiene 10 lados y ángulos iguales

• Endecágono regular: Tiene 11 lados y ángulos iguales

• Dodecágono regular: Tiene 12 lados y ángulos iguales

• Tridecágono regular: Tiene 13 lados y ángulos iguales

• Tetra decágono regular: Tiene 14 lados y ángulos iguales

Polígonos Irregulares

Se caracteriza irregular cuando el polígono tiene diferentes medidas de sus lados y sus ángulos interiores no son congruentes.

Ejemplos:

7.5 Triángulos

El triángulo es una de las figuras planas mas estudiadas y usadas, se conocen muchas propiedades de puntos y rectas que se asocian con los triángulos . en los cursos de geometría dichas propiedades son probadas con el uso de las técnica de la geometría sintética.

Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados

• Escaleno:Es un triángulo que no tiene lados congruentes

• Isoceles:Es un triángulo que tiene lados congruentes

• Equilatero:Es un triángulo que tiene sus tres lados congruentes

Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos

• Equiángulo : Es un triángulo que tiene sus tres ángulos congruentes

• Rectángulo:Es un triángulo que tiene un ángulo recto

• Acutangulo: Es un triángulo que tiene tres ángulos agudos

• Obtusangulo: Es un triángulo que tiene un ángulo obtuso 

Congruencia y semejanza de triángulos

En la practica es muy útil poder determinar con rapidez la congruencia de triángulos para ello existen los siguientes criterios :

CRITERIO LAL ( LADO – ÁNGULO – LADO )

Dos triángulos son congruentes si tiene un ángulo de igual medida formado por lados de longitud iguales. 

CRITERIO ALA ( ANGULO -LADO – ANGULO )

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual longitud y los ángulos adyacentes a ese lado son correspondientes de igual medida. 

CRITERIO LLL ( LADO – LADO – LADO )

Dos triangulos son congruentes si tienen sus lados de longuitudes respectivamente iguales

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos

*Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

*Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b? 

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

7.6 Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que se caracteriza por tener 4 lados y 4 ángulos.

Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero tienen características especiales. Una muy importante es la dada sobre la cantidad de lados y ángulos, pero además cuentan con 2 diagonales, 4 vértices y la suma de todos sus ángulos es igual a 360 °

Clasificación de cuadriláteros

Los cuadriláteros tienen tres clasificaciones principales: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

• Paralelogramos: Son los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: 

• Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

• Trapezoides: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

Características de los cuadriláteros.

Cuadrado: Tiene cuatro lados y cuatro ángulos iguales (rectos). Sus lados opuestos son paralelos dos a dos. Tiene dos diagonales que son perpendiculares y son iguales.

Rectángulo: Tiene los cuatro ángulos iguales, dos pares de lados iguales que son paralelos. Dos diagonales que son iguales y son oblicuas (no son perpendiculares).

Rombo: Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos opuestos son iguales. Dos diagonales perpendiculares, una mayor que otra.

Romboide: Tiene los lados y los ángulos contiguos desiguales. Dos diagonales iguales y oblicuas.

Trapecio rectángulo: Tiene dos ángulos rectos y un par de lados paralelos llamados bases. Una base es menor que otra.

Trapecio escaleno: Tiene dos lados paralelos llamados bases y los otros dos lados son desiguales, no tiene ángulos rectos. Una base es menor que otra.

Trapezoide deltoides o simétrico: tienen dos pares de lados consecutivos iguales, pero los lados del primer par son más pequeños que los del segundo par. Dos diagonales perpendiculares, una mayor que otra.

Cometa: Es un tipo de trapezoide simétrico. Tiene los lados consecutivos iguales. Dos diagonales que son perpendiculares, una es mayor que otra.

Trapezoide asimétrico: Tienen todos sus lados diferentes y no tiene lados paralelos. Dos diagonales oblicuas.

Cuadrilátero cóncavo: Tiene un ángulo interior mayor de 180°. Es el que se forma con los dos lados que se trazan hacia el interior. Una de sus diagonales queda fuera de la figura.

Cuadrilátero complejo: Tienen la característica especial que dos de sus lados se cortan entre sí. 

7.7 Perímetro y Área de un Polígono

PERÍMETRO

El perímetro de una figura geométrica es la suma de las longitudes de los lados; además es uno de los elementos de los polígonos, para los polígonos regulares existen fórmulas que ayudan a simplificar, en realidad, consiste en multiplicar el número de los lados iguales, por la longitud de los mismos.

Ejemplo:

¿Cuál es el perímetro de una mesa cuadrada de 1.20 m de lado.?

ÁREA DE UN POLÍGONO

El área de un polígono es la medida de su superficie, es necesario aclarar que área y superficie son términos distintos, que en la vida diaria usamos por igual; superficie se refiere a la forma y extensión de la figura geométrica y, como ya se sabemos, el área es la medida de la superficie.

Ejemplo:

Para calcular el área de un cuadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = lado x lado = lado2

A = a • a

A = a2

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2. La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplo:

El área del siguiente triángulo:

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CUADRADO

El perímetro del cuadrado de una figura, se obtiene al multiplicar por cuatro la longitud del lado, si la forma es un cuadrado, sólo es necesario medir un lado.

ÁREA DE UN CUADRADO 

El área del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado. 

Ejemplo:

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO

 El perímetro del rectángulo de una figura, se obtiene al multiplicar por dos la suma de su ancho y su largo es decir (base más altura).

PERÍMETRO

El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos,

por tanto: P = 2· a + 2· b

ÁREA

 El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados.

A= a · b

Ejemplo:

Calcular el perímetro y el área de un rectángulo que mide 25 m de largo y 18 m de ancho

Fórmula:

PERIMETRO Y AREA DE UN PENTAGONO

Si el polígono tiene n lados, el número de triángulos que se formarán será igual a n. Entonces:

Pero n x l significa el número de lados (n) por el valor de un lado (l) del polígono; que si recuerdas, es la fórmula para obtener el perímetro del polígono regular. Por eso la fórmula que se utiliza para obtener el área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

Calculamos la apotema

De ahí calculamos el área del pentágono

PERIMETRO Y AREA DE UNA CIRCUFERENCIA

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.

PERÍMETRO

El perímetro de un círculo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. El área de una circunferencia no existe. La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. 

La razón (división) entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia recibe el nombre de (pi) y su valor aproximado es 3,14.

7.8 LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia. El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.

Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R

La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159.... 

CIRCUNFERENCIA	CÍRCULO
Arco, parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.	Sector circular, región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.
Cuerda, segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.	Segmento circular, región del círculo comprendido entre un arco y su cuerda.
Semicircunferencia: cada una de las partes que un diámetro divide a la circunferencia.	Semicírculo, región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo

Elementos de la circunferencia y el círculo:

- Centro: punto del cual equidistan todos los puntos que forman la circunferencia.

- Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

- Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

- Diámetro: cuerda que pasa por el centro y equivale a dos radios. Por lo tanto, el diámetro = 2 x radio.

- Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera.

- Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

- Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

- Semicircunferencia: arco igual a la mitad de la circunferencia.

Su longitud es aproximadamente 3,14 veces la medida de su diámetro (L = 3,14 X d).

7.10 Figuras circulares

- Semicírculo: cada una de las mitades de un círculo que resulta al trazar un diámetro. El diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales que se llaman respectivamente semicircunferencias y semicírculos. Recuerda que dos circunferencias concéntricas son las que tienen el mismo centro.

- Sector circular: parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

- Segmento circular: parte del círculo limitada por una cuerda y su arco correspondiente.

- Corona circular: parte del círculo comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro.