Funciones de una variable real

4.1 Definición, dominio y rango

Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f:D→R con  R, es decir,a cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D un único número real.

Habitualmente, la notación que se usa para representar una función es  y = f (x), donde x es la variable independiente,y la variable dependiente y f la aplicación que indica como se obtiene el valor de y conocido el valor d x.

DOMINIO

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x): 

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real.

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
  
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.
  

RANGO

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Al graficar la función se obtiene:

4.2 Representación gráfica de funciones

Representación gráfica
Supongamos que tenemos una función  f(x). Para representarla gráficamente debemos primero encontrar su dominio para saber en que puntos debemos evaluarla.
Una vez encontrado el dominio procederemos a hacer la representación. ¿Cómo lo haremos? Bien, la manera más simple y sencilla es mediante una tabla de valores, es decir, daremos valores a la variable (x) y encontraremos el valor de f(x) y dibujaremos el punto encontrado, (x,f(x))

en el plano usando las coordenadas cartesianas.
Ejemplo: 

Tomemos la función  f(x) = 2x+1 y vamos a hacer la tabla de valores: 

y por lo tanto encontramos los pares de puntos:

los que dibujaremos en el plano XY  y los uniremos con una línea. Al final obtenemos: 

4.3 Tipos de funciones

Funciones algebráicas

Una función es algebraica si la variable independiente   x   solo tiene operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, elevar a potencias y extraer raíces.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

• 1.1.1 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

• 1.1.2 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:

1. Función afín.
2. Función lineal.
3. Función identidad.

• 1.1.3 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

 Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 Funciones trigonométricas

• Función seno f(x) = sen x

• Función coseno f(x) = cos x

• Función tangente f(x) = tg x

• Función cosecante f(x) = cosec x

• Función secante f(x) = sec x

• Función cotangente f(x) = cotg x

4.4 Funciones lineales 

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación:

 f(x) = mx + b ó y = mx + b

llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.  

Función identidad

f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Ejemplo:

f (x) = 24x

m = la pendiente es 24

la recta no cruza el eje de las y

4.5 Funciones cuadráticas 

 Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así:
ax 2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)


Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

       
(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

4.6 Técnicas de Graficación de Funciones

Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original.

Desplazamientos:

Pueden darse horizontal o verticalmente, es decir, podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Dada la regla de correspondencia de f, siendo c > 0, se pueden generar las nuevas funciones:

▪ y = f (x + c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda.

▪ y = f (x − c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha.

▪ y = f (x) + c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba.

▪ y = f (x) − c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo.

Reflexiones:

Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados. Dada la regla de correspondencia de f, se pueden generar las nuevas funciones:

▪ y = f (− x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y.

▪ y = − f (x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X.

Ejemplos:

y = 2

y = 2x

x	f(x)=2x
0	0
1	2

y = −2

Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.

x	y = −3x − 1
0	−1
1	−4

Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).

5 = −m + n −5 = m − n
7 = 3m + n 7 = 3m + n
2 = 4m m = ½ n = 11/2
y= ½x + 11/2

x	y = ½x + 11/2
0	11/2
1	6

4.7 Operaciones con funciones de variable real

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por:

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por:

Ejemplos:

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:
·  La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

4.8 Funciones Polinomiales

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión
0	función constante	y = a
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Algunas propiedades de las funciones polinomiales:

1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
   
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de laecuación a xn + + a1x + a0 = 0
   
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.
   

Ejemplos:

Grafique la función polinomial x 3 – 2 x 2 – 3 x .

Prediga el comportamiento final de la función.
El grado de la función polinomial es impar y el coeficiente principal es positivo.



El grado del polinomio es 3 y habría 3 ceros para las funciones.
La función puede factorizarse como x ( x + 1)( x – 3). Así, los ceros de las funciones son x = – 1, 0 y 3.
Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.



Grafique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos

4.9 Funciones Racionales

Una función racional es  f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:

El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a  -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥
Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la funciónf(x)=x3/(x2-1) que es analizada en el ejemplo 1.Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio
Paso 2: Simetría
Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados
Paso 4: Regiones
Paso 5: Asíntotas
Paso 6: Puntos singulares y de inflexión.
Paso 7: Trazado de la curva

4.10 Funciones Exponenciales

La función exponencial es del tipo:



Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos:

x	y = 2x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = (½)x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

Propiedades de la función exponencial

Dominio:  .
Recorrido:  .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva  a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a > 1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x  son simétricas respecto del eje OY.

4.11 Función Logarítmica 

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Ejemplos:

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3