Conjuntos

2.1 Definición, tipos y cardinalidad

Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Tipos de Conjuntos

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados.

 Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. 
Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización.

 Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío.

 Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos.

 Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos.

Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve,

por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. 

Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. 

Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

Cardinalidad de un conjunto

El cardinal de un conjunto finito A es el número de elementos que tiene dicho conjunto. A ese número lo denotaremos por | A |. 

No es difícil llegar a que, si tenemos dos conjuntos A y B, entonces

| A   B | = | A | + | B | – | A   B |

Ejemplo:

Se sabe que, de los 65 alumnos del sexto curso, a 30 les gusta la Biología, a 40 las Matemáticas y a 10 les gustan ambas asignaturas.

El diagrama de Venn que representa el enunciado es el que aparece a la derecha. 

Claramente, el conjunto universal debe ser U = {x / x es alumno del sexto curso}.

Representemos por:

B={x   U/a x le gusta la Biología} y M={x   U/a x le gustan las Matemáticas}.

Entonces, según el enunciado,

 | U | = 65, | B | = 30, | M | = 40, | B   M | = 10. 

Los números que aparecen en las regiones coloreadas corresponden a los cardinales de los conjuntos que representan. Así, 

| B   M| = 10, | B – M| = 30 – 10 = 20 y | M – B| = 40 – 10 = 30,

El | B   M | = 20 + 10 + 30 = 60, que coincide con el resultado  de | B | + | M| – | B   M|, que es 30 + 40 – 10 = 60.

El cardinal de (B   M) l es  | (B   M) l  | = 65 – 60 = 5. 

2.2 Cuantificadores

Un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase 
por ejemplo:, pertenencia, equivalencia u orden. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

Cuantificación universal: El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad.

Ejemplo:

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

A⊂B∧A≠B∧A≠∅

Todo elemento x de A pertenece a B:
∀x∈A⇒x∈B
Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos yde B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:   ¬∀y∈B:y∈A


Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

Cuantificación existencial: El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto  A (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad

Ejemplo:

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:
A⊂B∧A≠B∧A≠∅

existe al menos un elemento x de B que pertenece a A:

∃x∈B∧x∈A

Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece
 a A: ∃y∈B∧y∉A

Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.

2.3 Operaciones entre Conjuntos

1- Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo:  A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}

2- Intersección de conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B 

Ejemplo:  A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={2}, esto es: {1,2,3}∩{2,4,6}={2} 

3- Diferencia de conjuntos:
La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, pero sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.


4- Conjunto complementario:
Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

Ejemplo: El conjunto de todos los números positivos mayores de 5, incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4}

A continuación algunos ejemplo de operacines entre conjuntos:

2.4 Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Propiedades de la unión de conjuntos
1° (A U A) = A
2° (A U B) = B U A
3° A U (B U C) = (A U B) U C
4° A U ᴓ = A

5° A U U = U

Propiedades de la intersección de conjuntos
1° (A ∩ A) = A  Idempotencia
2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa
3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa
4° A ∩ = Identidad

5° A ∩ U = A Identidad

Propiedades de diferencia de conjuntos
1° (A - B) ≠ B - A 
2° A - B = A ∩ B’
3° A - ᴓ = A
4° A - U = ᴓ
5° ᴓ - A = ᴓ

6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

Propiedades de conjunto complementario
1° A U AC = U
2° A ∩ AC = ᴓ
3° UC = ᴓ
4° ᴓC = U

5° (AC)C = A

2.5 Relaciones

Relación de pertenencia: Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman.  Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Relación de contenencia: Cuando se da esta situación decimos que un conjunto está contenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.  En este caso G está contenido en F, o lo que es igual, G es subconjunto de F. 

Relación de igualdad :Los conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Observa los conjuntos K y L definidos así: K={p,q,r,q,s,r,p} y L={s,r,p,q}. 

2.6 Funciones

Las funciones juegan un papel muy importante en matemática. Una precisa definición es la siguiente.

Sea f una relación de A en B. Entonces f es una función de A en B (denotado f : A → B y se lee “f es una función de A en B”) si y sólo si

a) Dom(f) = A

b) ∀ x ∈ A, ∀ y, z ∈ B [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f] → y = z.

En palabras, lo anterior dice que si f es una relación de A en B tal que para cada x ∈ A existe exactamente un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, entonces f es una función

La condición a) garantiza que para cada x ∈ A existe al menos un tal “y” y la condición b) garantiza que hay a lo más uno. Asá, tomados juntos, hay exactamente uno.