Lógica Matemática

1.1 Proposiciones 

Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez.

Representación simbólica:

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA	PROPOSICIÓN	VALOR DE   VERDAD
p:	El pentágono tiene cuatro lados	F
r:	Mario Vargas Llosa escribió conversación en la catedral	V
s:	Ica es la región más afectada por el terremoto del 2007	V
t:	El parque de la identidad se encuentra ubicado en Chilca	F

Las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad 

o la falsedad de su enunciado).

1.2 Operadores Lógicos

Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores.
Algunos de los conectivos lógicos que usamos en matemática son:

LENGUAJE COLOQUIAL	LENGUAJE SIMBÓLICO	NOMBRE DEL OPERADOR
no	~	La negación
y	Ù	La conjunción
o	Ú	La disyunción inclusiva
Si ... entonces ...	®	La condicional
... sí y sólo sí ...	«	La bicondicional

NEGACIÓN : La negación es un operador que se ejecuta sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Tabla de verdad de Negación
Ejemplo:
p: "4+4 es igual a 9"

¬p: "4+4 no es igual a 9".







CONJUNCIÓN: Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero  cuando ambas proposiciones son verdaderas y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas. 

Tabla de verdad de Conjunción

Ejemplo:

p: "El número 4 es par"

q: "Siempre el residuo de los números pares es 2"

p^q: "El número 4 es par y siempre el residuo de los números pares 

es 2".



DISYUNCIÓN: Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando 
ambas son falsas.

Tabla de verdad de Disyunción

Ejemplo: 
p: "El número 2 es par"

q: "La suma de 2+2 es 4"

pvq: "El número 2 es par o la suma de 2+2 es 4".





CONDICIONAL IMPLICACIÓN: Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones,devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa y verdadero en cualquier otro caso.

Tabla de verdad de Condicional Implicación

Ejemplo:
p: "llueve"

q: "hay nubes"

p®q: "Si llueve entonces hay nubes




BICONDICIONAL: Es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tiene el mismo valor de verdad, y falso cuandp sus valores de verdad difieren.
Tabla de verdad de Bicondicional

Ejemplo:
p: "10 es un número impar"

q: "6 es un número primo"

p«q: "10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo"

1.3 Clases de Proposiciones

PROPOSICIONES SIMPLES:  Tambien denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo:

• El 9 y el 27 son factores del 81
  

• Esa caja es de madera.
  

• Nada es para siempre.
  

• La música clásica es la más antigua del mundo.
  

• Los números pares son divisibles por dos.
  

PROPOSICIONES COMPUESTAS: También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.  Ejemplo:

• Puedo manejar un auto si tiene dirección hidráulica.
  

• Gabriel García Márquez fue un gran escritor y bailarín.
  

• Las células son procariotas o eucariotas.
  

• La raíz cuadrada de 25 es 5, o -5.
  

• No todos los números primos son impares.

1.4 Propiedades de los Operadores Lógicos

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1)  Idempotencia

p˄p ≡ p
p˅p ≡p

2)  Asociatividad
(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad

p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad

p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento

p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes

(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan

~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

Ejemplo:



  (p ˄ q)     →    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]        
 ~(p ˄ q)     ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                             condicionante
(~p ˅ ~q)   ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                             De Morgan
[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)]    ˄   [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)]       distributividad
[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)]    ˄   [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)]       conmutatividad, asociatividad
[~p ˅ (v)]   ˄   [(v) ˅~q]                                                   idempotencia, complemento 
         (v)    ˄    (v)                                                                identidad 
                (v)                                                                         identidad



Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.
Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de la simplificación de la primera.

1.5 Razonamientos

Razonamiento: Un razonamiento en sí, es una secuencia de enunciados ligados de tal manera que la conclusión deriva de lo que llamamos premisas.

El razonamiento que establece la veracidad de la conclusión en base a las premisas recibe el nombre de demostración.

1.6 Demostraciones

Demostración: Para demostrar la validez de un razonamiento, debemos evaluar las premisas y la conclusión. Si las primeras son verdaderas y de ellas se desprende una conclusión que también lo es, el razonamiento es válido. En caso de obtener una conclusión falsa, entonces estaremos frente a un razonamiento inválido.