Matrices y Sistema de Ecuaciones

6.1 Definición y Clases 

Una matriz se define como un conjunto de números o expresiones numéricas que se ordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las intersecciones de filas o columnas se denomina elemento de la matriz, y contiene un número o una expresión.

Las matrices se representan genéricamente del siguiente modo:

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión:
 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij).


Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij.


Tipos de Matrices


Matrices Iguales


Dos matrices son i guales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son igules.

Ejemplo:

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Ejemplo: 

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Ejemplo:

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.



Ejemplo:

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.


Ejemplo:

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Ejemplo:

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Ejemplo:

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Ejemplo:

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Ejemplo:

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.

6.2 Operaciones con Matrices

Suma y Resta de Matrices

La suma de dos matrices (Aij), (Bij) de la misma dimensión, es otra matriz (Rij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij.

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

• Suma de Matrices: (Aij) + (Bij) = (Aij + Bij)

• Resta de Matrices: (Aij) – (Bij) = (Aij – Bij)

Ejemplos:

Multiplicación de Matrices

Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, A · B, es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

En tal caso, el producto A · B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda, del siguiente modo:

Aik·Bkj=Cij

La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B

Ejemplo:

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

6.3 Determinantes y Propiedades

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.

• Propiedad 1.

Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo.

Sea:       

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

• Propiedad 2.

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.

Esto es:           

Ejemplo:

Sea                   



La transpuesta de A es        

• Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo.


Sea             con   

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

            con  

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

• Propiedad 4.

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.     

Ejemplo.

Sea            entonces  

• Propiedad 5

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.

Ejemplo.

Sea        cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  




Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                 

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     


       

• Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo.

Sea        cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  




Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
  
                      

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene


        

• Propiedad 7.

Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.



Esto es

                                             

Ejemplo.

Sean                                           y            

con                          y      

 El producto                  

Y su determinante  es                     

Entonces                            .

• Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo.

              I =                det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

• Propiedad 9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)


Ejemplo.
.
                              J =            |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

6.4 Sistema de Ecuaciones Lineales

Es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b    .

xi son las incógnitas, (i = 1, 2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n           m > n, ó m = n, ó m < n.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

• Lo que debemos hacer:

• Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

• Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

• Resolver la ecuación resultante.

• Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplos:

 

 

 

     
 
                       
                           
                   
                           
         
                         





Método de reducción

Lo que debemos hacer:

• Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

• Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

• Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

•  Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

• Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplos:

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

• Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

• Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

• Se resuelve la ecuación resultante.

• El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplos:

6.5 Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Llamamos sistema no lineal a un sistema de ecuaciones en el que una o ambas de las ecuaciones que forman el sistema es una ecuación no lineal, es decir, cuando alguna de las incógnitas que forman parte de la ecuación no son de primer grado.

Por tanto en este tipo de sistemas nos podemos encontrar polinomios de segundo grado, raíces, logaritmos, exponenciales….

La mayor parte de estos sistemas se resuelven utilizando el método de sustitución, aunque en algunos casos puede ocurrir que no sea la forma más sencilla. A continuación veremos algunos de estas excepciones a través de ejemplos. Podemos distinguir por tanto algunos casos:

CASO 1: 

Si una de las ecuaciones es lineal y la otra no lineal:

En este caso utilizaremos siempre el método de sustitución:

Como podemos observar, en este caso la segunda ecuación es una ecuación lineal, por tanto seguiremos los pasos que vimos en el método de sustitución:

1º. Despejamos una de las incógnitas en la ecuación lineal (ahora no podemos elegir la que queramos).

2ªecuación: y = 7- x

2º. Sustituimos su valor en la primera ecuación:

3º. Obtenemos una ecuación de segundo grado en una de las incógnitas (en este caso en x), la desarrollamos y resolvemos utilizando la fórmula conocida:

4º. Por último, como hemos obtenido dos valores de x, sustituimos en la ecuación que obtuvimos en el primer paso, obteniendo también dos valores de y:

Si x=3, y = 7-3=4

Si x=4, y = 7-3=4

5º. Las soluciones del sistema son: (3,4) y (4,3).


CASO 2:

Si ambas ecuaciones son no lineales y ambas incógnitas son de segundo grado o en ambas ecuaciones la incógnita de segundo grado es la misma:

En este caso podemos resolver el sistema utilizando el método de reducción, aunque la ecuación que nos quede tras eliminar una de las incógnitas será una ecuación se segundo grado:

1º. Para poder eliminar una de las incógnitas (la x, por ejemplo) multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda ecuación por -3.

2º. Resolvemos la ecuación que es una ecuación de segundo grado incompleta que nos da dos soluciones, que luego sustituiríamos en una de las ecuaciones para halla los valores de x.

3º. Como las raíces nos salen negativas, el sistema no tiene solución.


CASO 3: 

Ambas son ecuaciones no lineales, pero no de segundo grado, sino utilizando alguna función, ya sean logaritmos, exponenciales o la función inversa.

En este caso, resolveremos el sistema utilizando un método nuevo: el cambio de variable. Gracias a este método obtenemos un sistema más fácil de manejar, reduciéndose a uno de los casos anteriores:

1º. Realizamos el cambio de variable apropiado:

u=1/x, v=1/y.

2º. Escribimos el sistema en función de u y v:

3º. Como podemos observar, es un sistema del tipo que hemos mencionado en el caso 1, luego lo resolvemos por el método de sustitución. Por el que obtenemos los siguientes valores:

Si v = 2, u = 3,

Si v = -3, u = -2.

4º. Por último tenemos que deshacer el cambio: x=1/u, y=1/v. Por tanto las soluciones que obtenemos son: (1/3, 1/2) y (-1/2, -1/3)


Ejemplos:

y = 7 − x

x² + (7 − x)² = 25

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3