Números Reales

3.1  Conjunto numéricos (reales, enteros, racionales, naturales, irracionales)

Conjunto de los Números Naturales

N = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. 

Cuando restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no es necesariamente un número natural, y por eso decimos que los números naturales no son cerrados respecto estas dos operaciones. En cambio, sí son cerrados respecto a la suma y la multiplicación, es decir, la suma o multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado otro número natural. 

Conjunto de los Números Enteros

Z =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico , situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Conjunto de los Números Enteros negativos

Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos:  Z +
Enteros Positivos y el Cero:  Z 0 +
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Conjunto de los Números Racionales

Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b . Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q  =  {  a / b  tal que  a y b   Z; y  b   0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

Conjunto de Números Irracionales

I =   Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi , etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros , es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos:  1,4142135....

0,10200300004000005...

3.2 Operaciones entre números reales

Los números reales  (designados por   ) son casi todos los números que podemos escribir o conocer. 

• Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+aa+b=b+a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+a

Ejemplos:  

7+(−11)= −11+7=−4

5+5+4= 14

2+(-5)+5=  -5+2+5=2

10+50+(-15)= 60-15= 45

• Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a

Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Ejemplos:

5-1 =  4
10-(15-10)=10- 5=5

• Multiplicación de números Reales

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=ca×b=c

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c−a×−b=c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−ca×−b=−c

−a×b=−c−a×b=−c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=da×−b×−c=d

a×−b×c=−da×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=aa×1=a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

Ejemplos:

3(3) = 9

3(2) = 6

3(1) = 3

3(0) = 0

3(−1) = -3

3(−2) = -6

• División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

 a/b=−a/b=−a/b

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos. 

Ejemplos:

10 /(1/2)= 10(2) = 20

-7 /(2/3)=-7(3/2)= 21/2

(4/7) / 2= 2(7/4)= 14/4

• Potenciación de números reales

Todo producto de factores iguales, por ejemplo: a·a·a puede escribirse abreviadamente
así: a3.
En la expresión anterior, a3 se llama potencia, el factor que se repite (a) se llama base y el numero de veces que se repite el factor (3) se llama exponente.

Potencias con exponente entero

Con exponente racional o fraccionario

 

• Propiedades de la potencia de números reales

1. Potencia de exponente cero:

a0=1

2. Potencia de exponente uno:

a1=a

3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am · a n = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

4. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = -8

5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma basey cuyo exponente es el producto de los exponentes

.

(am)n=am · n 

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an · b n = (a · b) n

(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216

7.  Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases

an : b n = (a : b) n

 (−6)3: 33 = (−2)3 = −8

 

3.3 Relación de orden

RELACIONES DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES

Para contar siempre llevamos un orden, 1 después el 2, luego el 3 y luego el 4.

La correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta numérica permite representar geométricamente la relación de orden de los números reales, según la cual los números reales son ordenados.

Si a y b son números reales, entonces se tiene lo siguiente:

• Si a-b es mayor que cero, es  decir , a-b > 0,  a es mayor que b, lo que se simboliza con  a > b. El símbolo > significa " mayor que". 
• Si a - b  es menor que cero, entonces a es menor que b, lo que se escribe a < b. El símbolo < significa "menor que".
• Si a - b = 0, entonces a = b

Respecto a la recta numérica, se tiene que a > b  si el número a se ubica a la derecha de b;  a la vez , a < b si a se localiza a la izquierda de b. Por lo tanto, sólo una de las expresiones siguientes es verdadera:

                                                  a > b   ,      a  < b  ,   o bien   a = b

Esta propiedad recibe el nombre  de ley de tricotomía.

3.4 Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número de operaciones de suma , resta, producto, cociente, potencia y raíz.

partes de una expresión algebraica:

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3 2 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

Expresiones algebraicas comunes

• 
  
• El doble o duplo de un número: 2x 
• 
  
• El triple de un número: 3x 
• 
  
• El cuádruplo de un número: 4x 
• 
  
• La mitad de un número: x/2 
• 
  
• Un tercio de un número: x/3 
• 
  
• Un cuarto de un número: x/4 
• 
  
• Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... 
• 
  
• Un número al cuadrado: x² 
• 
  
• Un número al cubo: x³ 
• 
  
• Un número par: 2x 
• 
  
• Un número impar: 2x + 1 
• 
  
• Dos números consecutivos: x y x + 1 
• 
  
• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 
• 
  
• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 
• 
  
• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x 
• 
  
• La suma de dos números es 24: x y 24 − x 
• 
  
• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x 
• 
  
• El producto de dos números es 24: x y 24/x 
• 
  
• El cociente de dos números es 24: x y 24 · x 

Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Racionales : es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación.

Ejemplo: 

Expresión Algebraica Racional Entera: es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

Ejemplo

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria :  es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. 

Ejemplo

Expresión Algebraica Irracional : Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación.

Ejemplo

POLINOMIOS

Son las expresiones algebraicas más usadas.
Sean a0 a 1 a2... números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma :

Ejemplo de Polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis. : P(x) ; Q(x) ; T(x).

Términos

Monomio : polinomio con un solo término
Binomio: polinomio con dos términos
Trinomio: polinomio con tres términos

Cada monomio a;x se llama término
El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anx con an≠0
A a0 se lo llama término independiente
A an se lo llama término principal

Ejemplos:

Leyes de Potencia

Leyes de Signo para Potencia

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. 

Ejemplo:

Resta de Polinomios 

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

Ejemplo:

Multiplicacion de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.

Ejemplo

Division de Polinomios

Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

División entre números enteros.

En el conjunto de números enteros si D es el dividendo y d ≠0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y r (resto) tales que: 

Si r=0 se dice que D es divisible por d.

Ejemplo: 

Más Ejemplos:

3.5 Razones y Proporciones

RAZONES 
Se llama razón entre dos números reales distintos de cero, dados en un cierto orden, al cociente exacto del primer por el segundo. El primero se llama antecedente y el segundo consecuente.

En los símbolos: la razón entre a y b es a/b = a : b siendo a y b números reales.

Ejemplos: La razón entre 8 y 4 es 8/4 = 2

PROPORCIONES 
Se forma una proporción, cuando la razón entre los dos números primeros es igual a la razón entre los dos últimos.

En símbolos: Dados a, b, c y d si a/b = c/d, a, b, c y d forman una proporción y se lee “a es ab como c es a d” 

Ejemplos: -1/0.5 = -8/4 es una proporción pues -1/0.5 = -2 y -8/4 = -2

3.6 Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5 |5| = 5

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL :Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 ) |x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a| |5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a • b| = |a| •|b| |5 • (−2)| = |5| • |(−2)| |− 10| = |5| • |2| 10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante. D =

3.7 Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplos de ecuaciones:

Tipos de Ecuaciones

Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:

• Ecuaciones algebraicas

• De primer grado o lineales

• De segundo grado o cuadráticas

• De tercer grado o cúbicas

• Diofánticas o diofantinas

• Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
  

• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.

• Ecuaciones diferenciales

• Ordinarias

• En derivadas parciales

• Ecuaciones integrales

• Ecuaciones funcionales
  

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ.

Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Cuando A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene una ecuación algebraica polinómica.

En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto A es un conjunto de vectores reales y la función f es un operador lineal.

Ecuaciones Algebraicas

Las ecuaciones algebraicas son mucho más sencillas de comprender de lo que parece, se encuentran en todas partes en las matemáticas.

Una ecuación algebraica es una combinación de uno o más términos separados con un símbolo de “igualdad”, es decir el  símbolo “=”. Los términos son las expresiones algebraicas  (monomios, bi o trinomios etc) que -como sabemos- están compuestas de constantes y variables. Los términos pueden ser numéricos, alfa expresión numérica, etc.. Los términos están conectados uno con el otro con la ayuda de suma (+) o símbolos de resta (-). 

4x – 20  =  0       es de primer grado

x 2 – 11x + 10  =  0      es de segundo grado

y 3 + 2y 2 – y – 2  =  0       es de tercer grado

t 4 – 5t 2 + 4  =  0       es de cuarto grado

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ejemplo: 

Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: 

ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo: 

Ecuaciones de Tercer Grado o Ecuación Cúbica
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C. 

Una ecuación cualquiera de tercer grado, una vez simplificada y ordenada convenientemente, se podrá escribir como: ax3 + bx2 + cx + d = 0 En general puede tener entre una y tres soluciones, según los factores en que se pueda descomponer el polinomio correspondiente al primer miembro.

Ejemplo:

Ecuaciones de Cuarto Grado o Ecuación Cuártica

Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica que se puede poner bajo la forma canónica: 

donde a, b, c, d y e (siendo a ≠0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales R o loa complejos C.

Ejemplos:

3.8 Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.

Ejemplo:

*2x − 1 < 7 =

           2x < 8     x < 4

                                                (-∞, 4)

*2x − 1 ≤ 7=

         2x ≤ 8     x ≤ 4

                                               (-∞, 4]

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones
5x + 6 < 3x - 8
3x > 2
La solución de la primera ecuación es:
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
La solución de la segunda ecuación es:
3x > -2
x < -2/3
La solución del sistema sería x < -7.

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.
x2 - 5x + 6 > 0
Las soluciones de la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. 

Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .
x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.
Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.
Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

conlleva que -3>(x-3)>3, luego

x-3 >3 

-3>x-3  

son los puntos mayores que 0 y menores que 6.